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模拟电路和数字电路

模拟电路(analog circuit)是一种更加贴合实际的电路,它的电压的取值范围是连续的。而数字电路(digital circuit)的电压通常只有两种取值,低电平(代表“关”)或高电平(代表“开”)。因此,数字电路是更加贴合用来设计二进制电子产品的电路,我们之后所谈到的电路,不特别说明的情况下都是指数字电路

逻辑门

二进制的加减乘除与十进制类似,只要注意逢二进一,以及借位时借 2 即可,因此我们还是来介绍一些二进制独有的运算吧。

假设我们是一个做电路元件的老师傅,现在需要这么一种电路元件,他接通三根电线,其中两根输入电流,一根输出电流,而两根输入电线既可能是“关”的状态,也可能是“开”的状态,我们要根据这两根输入电线的状态决定输出电线的状态。如果要求两根输入电线都要用上并且地位完全平等,也就是说,我们不能只管一根电线无视另一根电线,或者干脆两根都不管稳定输出“关”或“开”,那么我们一共可以做出多少种不同的电路元件?

答案是六种。这种电路元件通常叫做逻辑门(logic gate)。我们用 1 和 0 分别表示“开”和“关”来介绍这六种逻辑门:

AND(与门)

只有当输入都是 1 时,输出才是 1,任意一个输入为 0,输出是 0。

ABOut
000
010
100
111

OR(或门)

任意一个输入是 1 时,输出是 1。只有输入全是 0 时,输出才是 0。

ABOut
000
011
101
111

XOR(异或门)

输入不相同时,输出是 1,输入相同时,输出是 0。对于更多输入的异或门(输入大于 2)而言,当奇数个输入是 1 时输出是 1,当偶数个输入是 1 时输出是 0。

ABOut
000
011
101
110

NAND(与非门)

和与门输出相反的逻辑门。

ABOut
001
011
101
110

NOR(或非门)

和或门输出相反的逻辑门。

ABOut
001
010
100
110

XNOR(同或门)

和异或门输出相反的逻辑门。

ABOut
001
010
100
111

除此之外,还有一种只有一个输入的逻辑门:

NOT(非门)

将输入反转的逻辑门。

InOut
01
10

什么,你问我有没有输入什么就输出什么的逻辑门?那我只会建议你直接把电线连上去。不过一定要说的话,在设计逻辑电路时通常会使用一种名为 BUF(缓冲器)的电子元件,它就是输入啥就输出啥。由于逻辑门的计算需要消耗一定的时间,造成延迟,为了保证一定范围内所有电路的时间延迟保持一致,通常会增加 BUF 以增加某条线路上的时间延迟。不过 BUF 通常意义上并不会算作逻辑门的一种。

观察可知,NAND 等同于 AND 接上 NOT,NOR 等同于 OR 接上 NOT,XNOR 等同于 XOR 接上 NOT,因此我们实际只需要 4 种逻辑门(AND, OR, XOR, NOT)就可以实现全部 7 种逻辑门的功能了。

位运算

两个二进制数之间,除了可以加减乘除之外,还能进行一种特殊的运算,叫做位运算(bitwise operation)。位运算是基于上述逻辑门而实现的一种运算,例如我们有两个二进制数 10010101 和 00010111,我们取第一个数的第一位 1 和第二个数的第一位 0,通过某个逻辑门得到计算结果的第一位(如AND下为0);取第一个数的第二位 0 和第二个数的第二位 0,通过某个逻辑门得到计算结果的第二位(如 AND 下为 0);以此类推,直到得到计算结果的所有位数,这种运算就是位运算。

我们之前学习逻辑运算时,我们使用的运算符是 &&, ||, ^^,肯定有很多人奇怪为什么要写两遍,那是因为 &, |, ^位运算符(bitwise operator)。

&(按位与)

将两个数值的每一位二进制通过 AND 逻辑门得到输出结果对应的那一位。

如,计算 6 & 13 = 8 的过程:

1
2
3
4
0 1 1 0  (6)
1 1 0 1  (13)
---------------
0 1 0 0  (8)

|(按位或)

将两个数值的每一位二进制通过 OR 逻辑门得到输出结果对应的那一位。

如,计算 6 | 13 = 15 的过程:

1
2
3
4
0 1 1 0  (6)
1 1 0 1  (13)
---------------
1 1 1 1  (15)

^(按位异或)

将两个数值的每一位二进制通过 XOR 逻辑门得到输出结果对应的那一位。

如,计算 6 ^ 13 = 11 的过程:

1
2
3
4
0 1 1 0  (6)
1 1 0 1  (13)
---------------
1 0 1 1  (11)

~(按位取反)

将数值中所有 1 变为 0,所有 0 变为 1。根据数值精度的不同,运算结果也不同。

假设数值精度是四位,那么 ~6 = 9 的过程如下:

1
2
3
0 1 1 0  (6)
--------------
1 0 0 1  (9)

假设数值精度是八位,那么 ~6 = 249 的过程如下:

1
2
3
0 0 0 0 0 1 1 0  (6)
------------------------
1 1 1 1 1 0 0 1  (249)

除此之外,位运算还包含两种移位(shift)运算:

<<(左移)

a << b 代表将 a 中每个二进制位向左移动 b 位,多出的位置用 0 补上。通常 b 很小。

例如,假设数值精度是八位,那么 6 << 3 = 48 的计算过程:

1
2
3
0 0 0 0 0 1 1 0  (6)
------------------------------
      0 0 1 1 0 0 0 0  (48)

如果左移过程中,有某个位置的 1 超出了数值精度范围,那么他将被略去。

例如,假设精度数值为八位,那么 35 << 3 = 24 的计算过程:

1
2
3
0 0 1 0 0 0 1 1  (35)
-------------------------------
      0 0 0 1 1 0 0 0  (24)

在不超出精度的情况下,a << b 等效于 a * 2b

>>(右移)

右移又分为三种:

  1. 逻辑右移:类似左移,将所有二进制位向右移动,超出部分略去,多出的位置用 0 补上。如 11000011 右移三位变成 00011000
  2. 循环右移:把整个数值当做首尾相连的循环,从最右边移出来的位将补到最左边多出来的位上。如 11000011 右移三位变成 01111000
  3. 算术右移:超出部分略去,多出来的位置用原数值最高位填满。如 11000011 右移三位变成 11111000

算术右移的出现是负数的二进制表示方式引出的,我们将在后文中讲解负数的二进制表示方式,有时也会使用 >>> 表示算术右移。而 GM8 中不支持对负数右移(但是支持对负数的左移),这点就很令人难受。a >> b 通常等效于 a / 2b


扩展:按位异或的特性

按位异或有一个特性:如果 c = a ^ b,那么 b = a ^ c,且 a = b ^ c

利用这种特性,我们可以不使用第三个变量就能交换两个变量的值:

1
2
3
a ^= b;
b ^= a;
a ^= b;

此外,我们把这个特性看做加密文本 = 原始文本 ^ 秘钥的话,那么原始文本 = 加密文本 ^ 秘钥,构成了一个简单的数据加密。事实上,很多主流的加密算法中基本上都包含有按位异或的步骤。不过纯粹的按位异或加密是不安全的,别人只需要拿到加密程序,输入一段明文,得到密文后,通过秘钥 = 原始文本 ^ 加密文本反推出秘钥,导致所有密文都被破解。